${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{16}$ এর বিস্তৃতি থেকে মধ্য পদটির মান বের কর।

প্রশ্নে বলা হয়েছে \( (x - \frac{1}{x})^{16} \) এর বিস্তৃতি থেকে মধ্য পদটির মান নির্ণয় করতে হবে।

\( (x - \frac{1}{x})^{16} \) এর বিস্তৃতি বাইনোমিয়াল থিওরেম ব্যবহার করে করা যায়। যেহেতু \( n = 16 \) একটি জোড় সংখ্যা, বিস্তৃতির মধ্য পদটি \( \frac{n}{2} + 1 \)-তম পদ হবে।

### ধাপ ১: মধ্য পদ নির্ণয়
যেহেতু \( n = 16 \), তাই মধ্য পদটি হবে:

\[
\frac{16}{2} + 1 = 9
\]

অর্থাৎ, বিস্তৃতির 9-তম পদ হবে মধ্য পদ।

### ধাপ ২: বাইনোমিয়াল থিওরেম প্রয়োগ
বাইনোমিয়াল থিওরেম অনুসারে:

\[
(x - \frac{1}{x})^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} \cdot x^{16-2k}
\]

এখানে, 9-তম পদটির জন্য \( k = 8 \) হবে, কারণ \( k \) এর মান 8 হলে \( 16 - 2k = 0 \), যা \( x \) এর ঘাতকে 0 করে দেয়।

### ধাপ ৩: 9-তম পদ নির্ণয়
9-তম পদটি হবে:

\[
\binom{16}{8} \cdot x^{16 - 2 \cdot 8}
\]

\[
= \binom{16}{8} \cdot x^0
\]

\[
= \binom{16}{8}
\]

### ধাপ ৪: \( \binom{16}{8} \) এর মান নির্ণয়
\( \binom{16}{8} \) হলো কম্বিনেশন:

\[
\binom{16}{8} = \frac{16!}{8! \cdot 8!}
\]

এটি সরাসরি হিসাব করে দেখা যায় যে \( \binom{16}{8} = 12870 \)।

### সঠিক উত্তর:
মধ্য পদটির মান হলো **12870**।